3.1 2차원, 3차원, 그리고 n차원 공간에서의 벡터

Posted by yunki kim on March 31, 2021

기하학적 벡터

  2차원, 3차원 공간에서의 벡터를 화살표로 표시한다. 화살표 방향이 벡터의 방향을, 화살표의 길이가 벡터의 크기를 나타낸다. 화살표의 시작 부분을 벡터의 시점, 끝 부분을 벡터의 종점이라 한다.

여기서는 굵은 글씨고 벡터를, 소문자 이탤릭체로 스칼라를 나타낸다

v가 A를 시점, B를 종점으로 하는 벡터이면 다음과 같이 표시할 수 있다.

길이와 방향이 같은 벡터를 서로 동등하다고 한다. 시점과 종점이 같은 벡터의 길이는 0이므로 영벡터 라고 하고 0으로 표시한다.

벡터 덧셈

  벡터 덧셈을 위한 평행 사변형 규칙:  vw가 같은 시점을 갖는 2차원 또는 3차원 벡터일 때, 두 벡터는 평행 사변형의 인접하는 두 변을 형성하고, 두 벡터는 평행 사변형의 인접하는 두 변을 현성하고, 합 v+wvw는 공동 시점으로 부터 반대편에 있는 평행사변형의 꼭짓점까지의 화살표로 나타낸다.

  벡터 덧셈을 위한 삼각형 규칙: vw가 2차원 또는 3차원 벡터로서 v의 종점이 w의 시점이라면, 합 v+w는 v의 시점에서 w의 종점까지의 화살표로 나타낸다

벡터 뺄셈

  벡터 뺄셈: 벡터 v의 음벡터인 -vv와 길이는 같지만 방향이 반대인 벡터이고, 차벡터 w-v는 합 w-v=w+(-v)이다

스칼라 곱셈

  v가 영이 아닌 2차원 또는 3차원 벡터이고 k가 영이 아닌 스칼라이면, 스칼라 곱 kv는 길이 v|k|배이다. k가 양수이면 v와 같은 방향, 음수이면 반대방향인 벡터로 정의한다. k=0또는 v=0이면 kv를 0으로 정의한다.

평행벡터와 동일 직선상에 있는 벡터

  벡터에서는 평행과 동일직선상 이라는 용어가 같은 의미이다. 영벡터는 방향이 명확하지는 않지만 모든 벡터에 대해 평행한다.

셋이상 벡터들의 합

  벡터는 다음과 같은 결합법칙을 허용한다

          u + (v + w) = (u + v) + w

  벡터를 만드는 가장 간단한 방식은 종점에서 시점을 잇대러 연속적으로 벡터들을 나열하고 첫 벡터의 시점으로 부터 마지막 젝터의 종점을 잇는 벡터를 그리는 것이다. 

좌표계에서의 벡터

  원점을 시점으로 하는 벡터는 자신의 종점에 의해 결정되며 이 종점의 돠표을 좌표계와 연관된 성분이라 한다 

시점이 원점이 아닌 벡터

  벡터의 시점이 P1(x1, y1), 종점이 P2(x2, y2)이면 이 벡터의 성분은 다음과 같다

n-공간

  n이 걍의 정수일때, n중 순서쌍은 n개의 실수로 이루어진 (v1, v2,....,vn)이다. 모든 n중 순서쌍들의 집합을 n-공간이라하고 R^n으로 나타낸다.

R^n상의 벡터 u, v, w와 스칼라 k, m에 대해 다음 성질들이 성립한다.

v가 R^n상의 벡터이고 k가 스칼라이면

일차결합

  R^n의 벡터 w가 임의의 스칼라 k1, k2,...,kn에 대해서

                w = k1v1 + k2v2 + ..... + krvr

  의 형태로 쓰여지면, wv1, v2, ..., vr의 일차결합이라 한다. 이때 스칼라들을 일차결합의 계수라 한다. r=1인 경우 위 식은 w=k1v1이 되므로 벡터의 스칼라 배수임을 알 수 있다 .

 

R^n벡터는 행행렬 또는 열행렬의 형태로도 표기할 수 있다.