1. 행사다리꼴과 기약행 사다리꼴
행사다리꼴은 다음 중 1,2,3을 만족하고 기약행 사다리꼴은 다음 모두를 만족한다.
1. 0이 아닌 원소를 갖는 행에서 맨 처음 나오는 0이 아닌 수는 1이어야 한다. 이를 선도1 (leading 1)이라 한다.
2. 모든 원소가 0인 행이 있다면 그 행은 행렬의 맨 밑으로 내려가야 한다.
3. 0이 아닌 원소를 갖는 연속된 두 행은 밑에 있는 행의 선도 1이 위에 있는 행의 선도 1보다 오른쪽에 있어야 한다.
4. 선도 1이 있는 열의 나머지 원소들은 모두 0이어야 한다.
문제 풀이:
다음과 같은 첨가행렬이 있다고 하자.
이 첨가행렬을 연립 방정식으로 바꾸면 다음과 같이 된다.
여기서 x와 y는 선도 1에 대응되므로 선도변수라 하고, 나머지 변수는 자유변수라 한다. 이때 선도변수를 자요변수로 표현하면
이 방정식으로 부터 자유변수 z를 매개변수로 취급해 임의의 값 t로 설정해 x, y를 구할 수 있다. 따라서 해집합은 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.
정의 1.
연립일차방정식이 무수히 많은 해을 가질 때, 매개변수에 숫자를 넣어 해를 얻을 수 있는 매개변수 방정식들의 집합을 그 연립장정식의 일반해(general solution)이라 한다
가우스-요르단(Gauss-Jordan) 소거법(elimination)
1. 0이 아닌 원소가 있는 가장 왼쪽의 열에 위치한다
2. 필요하다면 1단계에서 찾은 열의 가장 윗수가 0이 아니도록 첫쨰 행과 다른 행을 바꾼다.
3. 1단계에서 찾은 열의 가장 윗수가 a이면 1/a로 곱해서 1로 바꾼다
4. 1행에 적당한 수를 곱해서 아래 행들에게 더하여 선도 1의 아래 원소들이 모두 0이 되도록 한다
5. 행렬의 1행은 두고 나머지 부분 행렬에 대해서 다시 1단계부터 진행해 기약행 사다리꼴 행렬이 될 떄까지 반복한다
6. 마지막 0이 아닌 행부터 시작해 위로 올라간다. 선도 1의 위를 0으로 만들기 위해서 적당한 수를 곱해서 위의 행에 더한다.
위의 과정에서 선도 1 아랙수분을 모두 0으로 하는 것을 전진(forward)단계, 윗부분을 모두 0으로 하는것을 후진(backward)단계라 한다.
상수항이 모두 0이면 이를 동차 연립일차방정식이라 한다.
모든 동차 연립일차방정식은 일치한다. 이때는 x1=0. x2=0,.....,xn=0을 해로 갖기 때문이다. 이 해를 자명해(trivial solution)이라 한다. 만약 다른 해가 있다면 이를 비자명해(nontrivial solution)라 한다. 동차 연립일차방정식은 늘 자명해를 갖기에 해애에대 다음과 같은 두가지 경우만을 가진다
1. 자명해만 있다
2. 자명해 외에 무수히 많은 해가 있다.